Binomische Formeln

Die drei binomischen Formeln im Überblick

Binomische Formeln sind drei feste Regeln, mit denen du Klammern aus zwei Gliedern quadrierst oder multiplizierst. Eine Summe oder Differenz aus zwei Gliedern, etwa a + b, heißt Binom. Daher kommt der Name.

Für a und b darfst du Zahlen, Variablen oder ganze Terme einsetzen, zum Beispiel 3x oder 2y². Liest du eine Formel von links nach rechts, nennt man das Ausmultiplizieren. Von rechts nach links heißt es Faktorisieren.

In Bayern lernst du die binomischen Formeln am Gymnasium in der 7. Klasse beim Umformen von Termen.

1. binomische Formel: die Plus-Formel

Die 1. binomische Formel lautet (a + b)² = a² + 2ab + b². Du bekommst sie, wenn du die Klammer zweimal hinschreibst und jedes Glied mit jedem multiplizierst:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Die beiden gemischten Produkte ab und ba sind gleich groß. Deshalb steht in der Mitte 2ab. Dieses Glied heißt mittleres Glied.

Du kannst dir die Formel auch als Fläche vorstellen: Ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b besteht aus einem Quadrat mit der Fläche a², einem Quadrat mit der Fläche b² und zwei gleich großen Rechtecken mit der Fläche ab. So hat der griechische Mathematiker Euklid die Formel in seinen Elementen begründet.

2. binomische Formel: die Minus-Formel

Das Minus steht nur in der Mitte!

Die 2. binomische Formel lautet (a − b)² = a² − 2ab + b². Auch sie entsteht durch Ausmultiplizieren:

(a − b)(a − b) = a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b²

Am Ende steht + b², weil Minus mal Minus Plus ergibt. Das Minus aus der Klammer landet also nur beim mittleren Glied. a² und b² sind Quadrate und deshalb immer größer oder gleich null.

Eigentlich ist die 2. Formel gar nichts Neues. Du kannst (a − b)² auch als (a + (−b))² lesen und die 1. Formel mit −b statt b anwenden. Das mittlere Glied wird dann 2 · a · (−b) = −2ab.

3. binomische Formel: die Plus-Minus-Formel

Die 3. binomische Formel lautet (a + b)(a − b) = a² − b². Hier werden zwei verschiedene Klammern multipliziert: einmal mit Plus, einmal mit Minus.

(a + b)(a − b) = a² − ab + ba − b² = a² − b²

Die gemischten Glieder −ab und +ba heben sich gegenseitig auf. Darum hat die 3. Formel kein mittleres Glied. Die Reihenfolge der Klammern ist egal: (a − b)(a + b) ergibt ebenfalls a² − b².

Diese Formel ist praktisch zum Kopfrechnen. Liegen zwei Zahlen gleich weit von einer runden Zahl entfernt, rechnest du so:

52 · 48 = (50 + 2)(50 − 2) = 2500 − 4 = 2496

Binomische Formeln rückwärts anwenden (Faktorisieren)

Rückwärts verwandelst du eine Summe in ein Produkt. Das brauchst du, um Terme zu kürzen oder Gleichungen zu lösen.

So gehst du beim Faktorisieren vor:

1. Quadrate suchen: Welche Glieder sind Quadrate? Bestimme daraus a und b. Bei 9x² + 12x + 4 ist 9x² = (3x)² und 4 = 2², also a = 3x und b = 2.
2. Bei drei Gliedern das mittlere Glied prüfen: Es muss genau 2 · a · b sein. Hier gilt 2 · 3x · 2 = 12x, das passt. Steht davor ein Plus, nimmst du die 1. Formel, bei Minus die 2. Formel. Ergebnis: 9x² + 12x + 4 = (3x + 2)².
3. Bei zwei Gliedern mit Minus dazwischen: Das ist die 3. Formel. Zum Beispiel x² − 25 = (x + 5)(x − 5).

Passt das mittlere Glied nicht, ist der Term kein Binom-Quadrat. Und eine Summe von zwei Quadraten wie x² + 25 lässt sich mit den binomischen Formeln gar nicht faktorisieren.

Wozu braucht man binomische Formeln?

Du brauchst die binomischen Formeln immer dann, wenn du mit Termen rechnest, in denen Klammern quadriert werden. Statt jedes Glied einzeln zu multiplizieren, schreibst du das Ergebnis direkt hin.

• Terme vereinfachen: Lange Ausdrücke werden kürzer, und Brüche mit Termen lassen sich nach dem Faktorisieren oft kürzen.
• Kopfrechnen: Quadrate wie 31² oder Produkte wie 99 · 101 rechnest du über eine runde Zahl schneller aus.
• Quadratische Gleichungen: Eine Gleichung wie x² − 8x + 16 = 0 wird faktorisiert zu (x − 4)² = 0, die Lösung x = 4 siehst du sofort. Auch die quadratische Ergänzung beruht auf der 1. und 2. Formel. Passt keine Formel, hilft die pq-Formel oder die Mitternachtsformel.

Achte beim Quadrieren von Termen wie 3x auf die Potenzgesetze: (3x)² ist 9x², nicht 3x².

Typische Beispiele für alle drei Formeln

1. binomische Formel anwenden

Löse die Klammer auf: (x + 3)²

Hier ist a = x und b = 3. Also a² = x², 2ab = 2 · x · 3 = 6x und b² = 9. Ergebnis: (x + 3)² = x² + 6x + 9.

2. binomische Formel mit Vorfaktor

Löse die Klammer auf: (2x − 5)²

Hier ist a = 2x und b = 5. Also a² = (2x)² = 4x², 2ab = 2 · 2x · 5 = 20x und b² = 25. Das Minus gehört nur vor das mittlere Glied: (2x − 5)² = 4x² − 20x + 25.

3. binomische Formel anwenden

Multipliziere aus: (y + 4)(y − 4)

Hier ist a = y und b = 4. Die gemischten Glieder heben sich auf, es bleibt a² − b²: (y + 4)(y − 4) = y² − 16.

Faktorisieren mit der 1. binomischen Formel

Schreibe als Produkt: x² + 10x + 25

x² = x² und 25 = 5², also a = x und b = 5. Prüfung des mittleren Glieds: 2 · x · 5 = 10x, passt. Ergebnis: x² + 10x + 25 = (x + 5)².

Häufige Fehler beim Auflösen von Binomen

• (a + b)² = a² + b²

  Das mittlere Glied fehlt. Richtig ist (a + b)² = a² + 2ab + b². Probe mit Zahlen: (1 + 2)² = 9, aber 1² + 2² = 5.

• (a − b)² = a² − 2ab − b²

  b² ist ein Quadrat und damit immer größer oder gleich null. Nur das mittlere Glied bekommt das Minus: a² − 2ab + b².

• Beim mittleren Glied wird die 2 vergessen: (x + 4)² = x² + 4x + 16.

  Das mittlere Glied ist 2 · a · b, also 2 · x · 4 = 8x. Richtig: x² + 8x + 16.

• (3x)² wird zu 3x².

  Der ganze Term wird quadriert, also auch die Zahl: (3x)² = 9x².

• (a + b)(a − b) = a² + b²

  Bei der 3. binomischen Formel steht zwischen den Quadraten ein Minus: a² − b².

• x² + 9 wird zu (x + 3)(x − 3) faktorisiert.

  Eine Summe von zwei Quadraten lässt sich mit den binomischen Formeln nicht faktorisieren. Nur x² − 9 = (x + 3)(x − 3).

Binomische Formeln: Aufgaben mit Lösungen

Versuch es erst selbst, dann vergleiche mit der Lösung.

1. 1

   Wende die 1. binomische Formel an: (a + 7)²

   Lösung zeigen zu Aufgabe 1

   a² + 2 · a · 7 + 7² = a² + 14a + 49

2. 2

   Wende die 2. binomische Formel an: (3x − 2)²

   Lösung zeigen zu Aufgabe 2

   (3x)² − 2 · 3x · 2 + 2² = 9x² − 12x + 4

3. 3

   Wende die 3. binomische Formel an: (5 + z)(5 − z)

   Lösung zeigen zu Aufgabe 3

   5² − z² = 25 − z²

4. 4

   Faktorisiere: x² − 8x + 16

   Lösung zeigen zu Aufgabe 4

   x² und 16 = 4² sind Quadrate, das mittlere Glied 8x = 2 · x · 4 hat ein Minus. Also 2. binomische Formel: (x − 4)²

5. 5

   Faktorisiere: 4y² − 49

   Lösung zeigen zu Aufgabe 5

   4y² = (2y)² und 49 = 7², dazwischen ein Minus. Also 3. binomische Formel: (2y + 7)(2y − 7)

6. 6

   Rechne im Kopf mit einer binomischen Formel: 31² und 99 · 101

   Lösung zeigen zu Aufgabe 6

   31² = (30 + 1)² = 900 + 60 + 1 = 961. 99 · 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 10000 − 1 = 9999.

7. 7

   Lässt sich x² + 6x + 4 direkt als Quadrat eines Binoms schreiben?

   Lösung zeigen zu Aufgabe 7

   Nein. Zum mittleren Glied 6x = 2 · x · 3 müsste hinten 3² = 9 stehen, nicht 4. Der Term ist kein vollständiges Binom-Quadrat.

Verwandte Themen

1. Mathepq-FormelKlasse 9
2. MatheMitternachtsformelKlasse 9–10
3. MathePotenzgesetzeKlasse 7–9

Quellen

1. LehrplanPLUS Gymnasium, Mathematik 7, Lernbereich 1.2: Umformen von Termen, ISB Bayern, abgerufen am 19.10.2026
2. LehrplanPLUS Serviceinformation: binomische Formeln (Realschule Mathematik 8, Terme, Gleichungen und Ungleichungen), ISB Bayern, abgerufen am 19.10.2026
3. Euklid: Die Elemente, Buch II, Proposition 4, antike-griechische.de, abgerufen am 19.10.2026
4. Die binomischen Formeln: Herleitung, Beispiele und typische Fehler, techuni.de, abgerufen am 19.10.2026

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