Mitternachtsformel

Wie lautet die Mitternachtsformel?

Die Mitternachtsformel lautet x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Mit ihr berechnest du die Lösungen einer quadratischen Gleichung in der allgemeinen Form ax² + bx + c = 0. Dabei gilt a ≠ 0, sonst wäre die Gleichung gar nicht quadratisch.

Die Buchstaben stehen für die Zahlen vor den einzelnen Gliedern:

• a ist die Zahl vor x²,
• b ist die Zahl vor x,
• c ist die Zahl ohne x, das Absolutglied.

Das ± bedeutet: Du rechnest einmal mit Plus und einmal mit Minus. So bekommst du bis zu zwei Lösungen x₁ und x₂. Weil a, b und c darin vorkommen, heißt die Formel auch abc-Formel. Manchmal liest du auch quadratische Formel oder Lösungsformel.

Der Name Mitternachtsformel spielt darauf an, dass du sie aufsagen können sollst, selbst wenn dich jemand mitten in der Nacht weckt.

Wann wendest du die Mitternachtsformel an?

Du verwendest sie bei jeder quadratischen Gleichung, besonders wenn vor x² keine 1 steht. Vorher bringst du alles auf eine Seite, sodass rechts 0 steht. Aus 2x² = 4x + 6 wird so 2x² − 4x − 6 = 0. Erst jetzt liest du a, b und c ab.

Fehlt ein Glied, geht es ohne Formel schneller:

Bei der Mitternachtsformel ohne c ist eine Lösung immer x = 0. Ein Produkt ist nämlich null, sobald einer der Faktoren null ist. Die Formel funktioniert hier zwar auch, aber du rechnest unnötig viel.

Quadratische Gleichungen lösen: Schritt für Schritt

Negative Zahlen immer in Klammern!

So gehst du mit der Mitternachtsformel vor, hier am Beispiel 2x² − 4x − 6 = 0:

1. Allgemeine Form herstellen: Rechts muss 0 stehen. Das ist hier schon so.
2. a, b und c mit Vorzeichen ablesen: a = 2, b = −4, c = −6.
3. Diskriminante berechnen: D = b² − 4ac = (−4)² − 4 · 2 · (−6). Hier kommt D = 64 heraus.
4. Lösungen ausrechnen: Setze −b, die Wurzel aus D und 2a in die Formel ein, einmal mit Plus und einmal mit Minus.
5. Probe machen: Setze jede Lösung in die Ausgangsgleichung ein. Es muss 0 herauskommen.

Achte beim Einsetzen besonders auf negative Zahlen. Ist b = −4, dann ist −b = −(−4) = +4. Und (−4)² ergibt 16, nicht −16. Setz deshalb jede negative Zahl in Klammern, auch im Taschenrechner. Den vollständigen Rechenweg zu dieser Gleichung findest du unten bei den Beispielen.

Mitternachtsformel und Diskriminante: Wie viele Lösungen gibt es?

Wie viele Lösungen es gibt, verrät dir die Diskriminante D = b² − 4ac, also der Ausdruck unter der Wurzel. Der Name kommt vom lateinischen discriminare, „unterscheiden“. Eine quadratische Gleichung hat höchstens zwei reelle Lösungen:

Bei D < 0 müsstest du die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Das geht mit den reellen Zahlen nicht. Berechne D deshalb immer zuerst. Ist D negativ, bist du schon fertig.

Die Lösungen sind die x-Werte, an denen die Parabel f(x) = ax² + bx + c die x-Achse trifft. Darum heißen sie auch Nullstellen.

Unterschied zwischen Mitternachtsformel und pq-Formel

Die pq-Formel braucht eine Gleichung in Normalform, also mit einer 1 vor x². Die Mitternachtsformel funktioniert mit jeder Zahl außer 0 vor x². Du kannst eine Gleichung aber immer zuerst durch a teilen und dann die pq-Formel nehmen. Beide Wege führen zu denselben Lösungen.

Bei 3x² + 2x − 1 = 0 entstehen beim Teilen durch 3 Brüche, hier ist die Mitternachtsformel bequemer. Bei 2x² − 4x − 6 = 0 teilst du durch 2 und erhältst x² − 2x − 3 = 0. Dann geht die pq-Formel genauso gut.

Herleitung der Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel lässt sich aus der allgemeinen Form herleiten. Dafür teilst du durch a und formst die Gleichung mit der quadratischen Ergänzung so um, dass du die Wurzel ziehen kannst. Am Ende steht x allein auf einer Seite, und genau das ist die Formel.

Mitternachtsformel: Beispiele mit Lösungen

Zwei Lösungen: 2x² − 4x − 6 = 0

Löse die Gleichung 2x² − 4x − 6 = 0 mit der Mitternachtsformel. Es gilt a = 2, b = −4 und c = −6.

1. 2x² − 4x − 6 = 0 | : 2
2. x² − 2x − 3 = 0
3. p = −2, q = −3
4. x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
5. x₁,₂ = 1 ± √((−1)² − (−3))
6. x₁,₂ = 1 ± √(1 + 3) = 1 ± √4
7. x₁ = 1 + 2 = 3
8. x₂ = 1 − 2 = −1

Ergebnis: x₁ = 3, x₂ = −1

Negatives a: −x² + 2x + 8 = 0

Löse die Gleichung −x² + 2x + 8 = 0. Achtung: Vor x² steht −1, also ist a = −1.

1. −x² + 2x + 8 = 0 | : (−1)
2. x² − 2x − 8 = 0
3. p = −2, q = −8
4. x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
5. x₁,₂ = 1 ± √((−1)² − (−8))
6. x₁,₂ = 1 ± √(1 + 8) = 1 ± √9
7. x₁ = 1 + 3 = 4
8. x₂ = 1 − 3 = −2

Ergebnis: x₁ = 4, x₂ = −2

Genau eine Lösung: 3x² + 6x + 3 = 0

Löse die Gleichung 3x² + 6x + 3 = 0 und gib an, wie viele Lösungen es gibt.

1. 3x² + 6x + 3 = 0 | : 3
2. x² + 2x + 1 = 0
3. p = 2, q = 1
4. x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
5. x₁,₂ = −1 ± √(1² − 1)
6. x₁,₂ = −1 ± √(1 − 1) = −1 ± √0
7. Unter der Wurzel steht 0, also gibt es genau eine Lösung: x = −1

Ergebnis: x = −1

Die Diskriminante ist null. Deshalb gibt es nur eine Lösung, die Parabel berührt die x-Achse.

Typische Fehler beim Einsetzen in die Mitternachtsformel

• Bei b = −4 wird für −b einfach −4 eingesetzt.

  −b bedeutet „das Gegenteil von b“: −(−4) = +4. Bei negativem b ist der Term −b im Zähler also positiv.

• (−4)² wird als −16 berechnet, weil die Klammer im Taschenrechner fehlt.

  Ein Quadrat ist nie negativ: (−4)² = 16. Setz negative Zahlen immer in Klammern.

• Bei negativem c wird −4ac falsch gerechnet, zum Beispiel −4 · 2 · (−6) als negative Zahl.

  Minus mal Minus ergibt Plus. Ist a positiv und c negativ, wird unter der Wurzel etwas addiert.

• a, b und c werden aus 2x² = 4x + 6 direkt abgelesen.

  Erst alles auf eine Seite bringen, bis rechts 0 steht: 2x² − 4x − 6 = 0. Dann ablesen.

• Nur die Wurzel wird durch 2a geteilt.

  Der Bruchstrich gilt für den ganzen Zähler −b ± √D. Teile also das Ergebnis von −b + √D und von −b − √D durch 2a.

Aufgaben zur Mitternachtsformel mit Lösungen

Versuch es erst selbst, dann vergleiche mit der Lösung.

1. 1

   Löse 2x² + 2x − 12 = 0 mit der Mitternachtsformel.

   Lösung zeigen zu Aufgabe 1

   1. 2x² + 2x − 12 = 0 | : 2
   2. x² + x − 6 = 0
   3. p = 1, q = −6
   4. x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
   5. x₁,₂ = −0,5 ± √(0,25 + 6) = −0,5 ± √6,25
   6. x₁ = −0,5 + 2,5 = 2
   7. x₂ = −0,5 − 2,5 = −3

   Ergebnis: x₁ = 2, x₂ = −3

2. 2

   Löse 4x² − 12x + 9 = 0. Wie viele Lösungen hat die Gleichung?

   Lösung zeigen zu Aufgabe 2

   1. 4x² − 12x + 9 = 0 | : 4
   2. x² − 3x + 2,25 = 0
   3. p = −3, q = 2,25
   4. x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
   5. x₁,₂ = 1,5 ± √(2,25 − 2,25) = 1,5 ± √0
   6. Unter der Wurzel steht 0, also gibt es genau eine Lösung: x = 1,5

   Ergebnis: x = 1,5

   Die Diskriminante ist null, es gibt also genau eine Lösung.

3. 3

   Wie viele reelle Lösungen hat x² + x + 1 = 0?

   Lösung zeigen zu Aufgabe 3

   a = 1, b = 1, c = 1. D = 1² − 4 · 1 · 1 = −3. Weil D < 0 ist, gibt es keine reelle Lösung.

4. 4

   Löse 3x² − 12x = 0 ohne Mitternachtsformel.

   Lösung zeigen zu Aufgabe 4

   Hier fehlt c, also klammerst du x aus: x · (3x − 12) = 0. Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: x = 0 oder 3x − 12 = 0, also x = 4.

5. 5

   Bestimme a, b und c für die Gleichung 5 − x² = 3x.

   Lösung zeigen zu Aufgabe 5

   Erst umstellen, bis rechts 0 steht: −x² − 3x + 5 = 0. Also a = −1, b = −3, c = 5.

6. 6

   Wann ist die pq-Formel bequemer als die Mitternachtsformel?

   Lösung zeigen zu Aufgabe 6

   Wenn vor x² schon eine 1 steht oder wenn du durch a teilen kannst, ohne dass Brüche entstehen.

Verwandte Themen

1. Mathepq-FormelKlasse 9

Quellen

1. Diskriminante: Lösungsformel quadratischer Gleichungen und Anzahl der Lösungen, Wikipedia, abgerufen am 19.10.2026
2. Quadratische Formel: Diskriminante und Anzahl der Lösungen, Just Math Things, abgerufen am 19.10.2026
3. Herleitung der abc-Formel, Matheretter, abgerufen am 19.10.2026
4. Formelsammlung Mathematik für die Realschule in Bayern, ISB Bayern, abgerufen am 19.10.2026
5. LehrplanPLUS Gymnasium, Mathematik 9: quadratische Gleichungen, ISB Bayern, abgerufen am 19.10.2026
6. LehrplanPLUS Realschule, Mathematik 10, Wahlpflichtfächergruppe II/III, ISB Bayern, abgerufen am 19.10.2026
7. Mathematischer Vorkurs, Kapitel 1: quadratische Gleichungen und Mitternachtsformel, Universität des Saarlandes, abgerufen am 19.10.2026

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