pq-Formel

Wie lautet die pq-Formel?

Die pq-Formel lautet x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q).

Was ist die pq-Formel genau? Sie ist ein Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. Mit ihr bestimmst du die Lösungen, also die Werte für x, für die die Gleichung stimmt. Sie sind zugleich die Nullstellen der Parabel y = x² + px + q. Das Zeichen ± bedeutet: Du rechnest einmal mit Plus und einmal mit Minus. So erhältst du bis zu zwei Lösungen, x₁ und x₂.

Die Buchstaben stehen für Zahlen aus der Gleichung: p ist die Zahl vor dem x, q die Zahl ohne x.

Wann darfst du die pq-Formel anwenden?

Vor dem x² muss eine 1 stehen!

Du darfst die pq-Formel nur anwenden, wenn die Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0 steht. Prüf das vorab mit dieser Checkliste:

1. Auf einer Seite steht 0. Alle Terme stehen links, rechts bleibt nur die Null.
2. Vor dem x² steht nur eine 1. Die 1 schreibt man nicht hin, x² heißt also 1 · x².
3. Die Terme sind geordnet: erst x², dann x, dann die Zahl.

Was musst du tun, wenn vor dem x² eine Zahl steht? Liegt die Gleichung in der allgemeinen Form ax² + bx + c = 0 vor, teilst du die ganze Gleichung durch a, also durch die Zahl vor dem x². Jeder Term wird geteilt, auch die Zahl ohne x.

Beispiel: Aus 4x² − 12x − 40 = 0 wird nach dem Teilen durch 4 die Normalform x² − 3x − 10 = 0. Jetzt liest du ab: p = −3 und q = −10.

Fehlt ein Term, ist die Zahl dafür 0. Bei x² − 9 = 0 ist p = 0, bei x² + 5x = 0 ist q = 0.

Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen: Schritt für Schritt

So gehst du bei jeder Aufgabe vor:

1. Normalform herstellen: alles auf eine Seite bringen, durch die Zahl vor x² teilen.
2. p und q ablesen, immer mit Vorzeichen. Das Vorzeichen gehört zur Zahl.
3. Einsetzen: Schreib die Formel hin und setz p und q in Klammern ein.
4. Unter der Wurzel rechnen: erst (p/2)², dann −q.
5. Wurzel ziehen und beide Lösungen ausrechnen: einmal mit +, einmal mit −.
6. Probe machen: Setz die gefundenen Lösungen in die Ausgangsgleichung ein. Links und rechts muss jeweils derselbe Wert herauskommen.

Vorsicht bei den Vorzeichen

In der Formel stehen zwei Minuszeichen: vor p/2 und vor q. Genau hier passieren die meisten Fehler. Ist p negativ, wird −p/2 positiv. Ist q negativ, wird −q positiv, unter der Wurzel addierst du dann also. Mit Klammern beim Einsetzen behältst du den Überblick:

Normalform	p	q	−p/2	(p/2)² − q
x² − 3x − 10 = 0	−3	−10	1,5	2,25 + 10
x² + 6x + 9 = 0	6	9	−3	9 − 9

Außerdem gilt: (p/2)² ist nie negativ, denn auch das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv.

Was verrät die Diskriminante über die Anzahl der Lösungen?

Die Diskriminante D = (p/2)² − q ist der Ausdruck unter der Wurzel. Sie entscheidet, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat. Rechne sie am besten zuerst aus:

Diskriminante	Anzahl der Lösungen	Was du rechnest
D > 0	zwei Lösungen	x₁ = −p/2 + √D und x₂ = −p/2 − √D
D = 0	genau eine Lösung	x = −p/2
D < 0	keine reelle Lösung	nichts mehr, die Rechnung ist fertig

Eine quadratische Gleichung hat also zwei, eine oder keine reelle Lösung. Bei D < 0 darfst du keine Wurzel ziehen, denn aus einer negativen Zahl gibt es in den reellen Zahlen keine Wurzel. Schreib dann als Antwort: „Die Gleichung hat keine reelle Lösung“ oder L = { }.

Was die Lösungen am Graphen bedeuten

Die Lösungen sind die Nullstellen der Parabel y = x² + px + q. Dort schneidet oder berührt die Parabel die x-Achse. Zwei Lösungen bedeuten zwei Schnittpunkte. Bei genau einer Lösung berührt die Parabel die x-Achse in ihrem Scheitelpunkt. Ohne Lösung liegt die Parabel ganz über der x-Achse.

Mit beiden Lösungen kannst du den Term als Produkt schreiben. Das heißt Linearfaktorzerlegung: x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂). Für x² − 3x − 10 mit den Lösungen 5 und −2 gilt also x² − 3x − 10 = (x − 5)(x + 2). Multiplizierst du aus, hast du gleich eine Probe.

Herleitung der pq-Formel kurz erklärt

Du erhältst die Formel, wenn du die Normalform allgemein nach x auflöst:

1. Bring q auf die rechte Seite: x² + px = −q.
2. Addiere auf beiden Seiten (p/2)²: x² + px + (p/2)² = (p/2)² − q.
3. Links steht jetzt ein Quadrat: (x + p/2)² = (p/2)² − q.
4. Zieh die Wurzel. Weil eine Zahl und ihre Gegenzahl dasselbe Quadrat haben, gibt es zwei Möglichkeiten: x + p/2 = ±√((p/2)² − q).
5. Rechne auf beiden Seiten −p/2. Fertig ist die pq-Formel.

Diesen Trick nennt man quadratische Ergänzung. Für die allgemeine Form ohne vorheriges Teilen gibt es eine eigene Formel, die abc-Formel oder Mitternachtsformel.

pq-Formel an Beispielen angewendet

Zwei Lösungen: erst durch die Zahl vor x² teilen

Löse 2x² + 8x = 10. Bring zuerst alles auf eine Seite: 2x² + 8x − 10 = 0.

1. 2x² + 8x − 10 = 0 | : 2
2. x² + 4x − 5 = 0
3. p = 4, q = −5
4. x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
5. x₁,₂ = −2 ± √(2² − (−5))
6. x₁,₂ = −2 ± √(4 + 5) = −2 ± √9
7. x₁ = −2 + 3 = 1
8. x₂ = −2 − 3 = −5

Ergebnis: x₁ = 1, x₂ = −5

Genau eine Lösung (D = 0)

Löse x² + 6x + 9 = 0.

1. x² + 6x + 9 = 0
2. p = 6, q = 9
3. x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
4. x₁,₂ = −3 ± √(3² − 9)
5. x₁,₂ = −3 ± √(9 − 9) = −3 ± √0
6. Unter der Wurzel steht 0, also gibt es genau eine Lösung: x = −3

Ergebnis: x = −3

Keine reelle Lösung (D < 0)

Löse x² + 2x + 5 = 0.

1. x² + 2x + 5 = 0
2. p = 2, q = 5
3. x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
4. x₁,₂ = −1 ± √(1² − 5)
5. x₁,₂ = −1 ± √(1 − 5)
6. Unter der Wurzel steht −4, also eine negative Zahl. Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

Ergebnis: keine reelle Lösung, L = { }

Typische Fehler bei der pq-Formel vermeiden

• Die pq-Formel wird direkt auf 3x² − 6x − 24 = 0 angewendet, mit p = −6 und q = −24.

  Erst durch die Zahl vor x² teilen. Aus 3x² − 6x − 24 = 0 wird x² − 2x − 8 = 0, also p = −2 und q = −8.

• Bei p = −6 wird −p/2 als −3 geschrieben.

  Minus mal Minus ergibt Plus: −(−6)/2 = +3. Setz p immer in Klammern ein.

• Bei q = −10 wird unter der Wurzel „− 10“ gerechnet.

  Unter der Wurzel steht −q. Bei q = −10 wird daraus +10, du addierst also.

• p und q werden abgelesen, obwohl rechts noch keine 0 steht, zum Beispiel bei x² = 5x − 6.

  Erst alles auf eine Seite bringen: x² − 5x + 6 = 0. Danach p und q ablesen.

• Bei negativer Diskriminante wird trotzdem eine Wurzel gezogen oder das Minus einfach weggelassen.

  Ist D < 0, hat die Gleichung keine reelle Lösung. Die Rechnung endet hier.

pq-Formel: Aufgaben mit Lösungen zum Üben

Versuch es erst selbst, dann vergleiche mit der Lösung.

1. 1

   Löse x² − 8x + 15 = 0.

   Lösung zeigen zu Aufgabe 1

   1. x² − 8x + 15 = 0
   2. p = −8, q = 15
   3. x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
   4. x₁,₂ = 4 ± √((−4)² − 15)
   5. x₁,₂ = 4 ± √(16 − 15) = 4 ± √1
   6. x₁ = 4 + 1 = 5
   7. x₂ = 4 − 1 = 3

   Ergebnis: x₁ = 5, x₂ = 3

2. 2

   Löse 3x² − 6x − 24 = 0.

   Lösung zeigen zu Aufgabe 2

   1. 3x² − 6x − 24 = 0 | : 3
   2. x² − 2x − 8 = 0
   3. p = −2, q = −8
   4. x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
   5. x₁,₂ = 1 ± √((−1)² − (−8))
   6. x₁,₂ = 1 ± √(1 + 8) = 1 ± √9
   7. x₁ = 1 + 3 = 4
   8. x₂ = 1 − 3 = −2

   Ergebnis: x₁ = 4, x₂ = −2

3. 3

   Wie viele Lösungen hat x² + 4x + 7 = 0?

   Lösung zeigen zu Aufgabe 3

   1. x² + 4x + 7 = 0
   2. p = 4, q = 7
   3. x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
   4. x₁,₂ = −2 ± √(2² − 7)
   5. x₁,₂ = −2 ± √(4 − 7)
   6. Unter der Wurzel steht −3, also eine negative Zahl. Die Gleichung hat keine reelle Lösung.

   Ergebnis: keine reelle Lösung, L = { }

4. 4

   Löse x² − 10x + 25 = 0.

   Lösung zeigen zu Aufgabe 4

   1. x² − 10x + 25 = 0
   2. p = −10, q = 25
   3. x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
   4. x₁,₂ = 5 ± √((−5)² − 25)
   5. x₁,₂ = 5 ± √(25 − 25) = 5 ± √0
   6. Unter der Wurzel steht 0, also gibt es genau eine Lösung: x = 5

   Ergebnis: x = 5

5. 5

   Löse x² = 5x − 6. Tipp: Bring zuerst alles auf die linke Seite.

   Lösung zeigen zu Aufgabe 5

   1. x² − 5x + 6 = 0
   2. p = −5, q = 6
   3. x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
   4. x₁,₂ = 2,5 ± √(6,25 − 6) = 2,5 ± √0,25
   5. x₁ = 2,5 + 0,5 = 3
   6. x₂ = 2,5 − 0,5 = 2

   Ergebnis: x₁ = 3, x₂ = 2

6. 6

   Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben?

   Lösung zeigen zu Aufgabe 6

   Zwei, eine oder keine reelle Lösung. Das entscheidet die Diskriminante: D > 0, D = 0 oder D < 0.

Quellen

1. Quadratische Gleichungen: Normalform, Diskriminante und Linearfaktorzerlegung (Lehrmaterial, PDF), Universität Kassel, abgerufen am 18.10.2026
2. LehrplanPLUS Realschule, Serviceinformation Mathematik 9, ISB Bayern, abgerufen am 18.10.2026
3. pq-Formel, Mathebibel, abgerufen am 18.10.2026
4. Quadratische Gleichung, Wikipedia, abgerufen am 18.10.2026

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