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Potenzgesetze

Mathe · Klasse 7–9 · aktualisiert am

Die Potenzgesetze sind fünf Rechenregeln, mit denen du Potenzen vereinfachst: zwei für Potenzen mit gleicher Basis, zwei für Potenzen mit gleichem Exponenten und eine für das Potenzieren einer Potenz. So ersparst du dir lange Produkte wie 2 · 2 · 2 · 2 · 2.

Bei gleicher Basis addierst oder subtrahierst du die Exponenten, bei gleichem Exponenten multiplizierst oder dividierst du die Basen. Für Summen wie aⁿ + bⁿ gibt es kein Potenzgesetz.

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

Inhalt 10 Abschnitte
  1. Merksatz1
  2. Potenzgesetze: Übersicht auf einen Blick2
  3. Potenzen multiplizieren und dividieren3
  4. Potenzen mit gleichem Exponenten4
  5. Potenzen potenzieren5
  6. Negative Potenzen, Exponent 0 und Wurzeln6
  7. Gibt es ein Potenzgesetz für die Addition?7
  8. Beispiele8
  9. Häufige Fehler9
  10. Übungen10

Potenzgesetze: Übersicht auf einen Blick

Es gibt fünf grundlegende Potenzgesetze. Sie gelten für Potenzen wie aⁿ. Dabei ist a die Basis (Grundzahl) und n der Exponent (Hochzahl). Eine Potenz ist eine Abkürzung für wiederholtes Multiplizieren: 2⁵ bedeutet 2 · 2 · 2 · 2 · 2. Das Ergebnis, hier 32, heißt Potenzwert.

Alle Potenzgesetze im direkten Vergleich:

Rechnunggleiche Basisgleicher Exponent
Multiplizierenaᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿaⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ
Dividierenaᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿaⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ

Das fünfte Gesetz gilt für das Potenzieren einer Potenz: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, also a hoch (m · n). Beim Dividieren darf die Zahl, durch die du teilst, nicht 0 sein.

Für die Exponenten gibt es eine einfache Merkhilfe: Du rechnest mit ihnen eine Stufe niedriger. Aus Mal wird Plus, aus Geteilt wird Minus, aus Hoch wird Mal.

Am bayerischen Gymnasium fasst du laut LehrplanPLUS in Klasse 7 Produkte von Potenzen mit gleicher Basis oder gleichem Exponenten sowie Potenzen von Potenzen zusammen, jeweils mit natürlichen Exponenten. Negative ganzzahlige Exponenten kennst du dort bereits aus Klasse 6; in Klasse 8 begründest und verwendest du die Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten. In Klasse 9 kommen rationale Exponenten dazu.

Potenzen multiplizieren und dividieren

Haben zwei Potenzen dieselbe Basis, addierst du beim Multiplizieren die Exponenten und subtrahierst sie beim Dividieren. Die Basis bleibt gleich.

Warum das stimmt, siehst du, wenn du die Potenzen ausschreibst:

  • 2³ · 2² = (2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 2⁵. Drei Faktoren und zwei Faktoren ergeben fünf Faktoren.
  • 5⁶ : 5⁴ = 5². Beim Kürzen fallen vier der sechs Faktoren 5 weg, zwei bleiben übrig.

Mit Variablen funktioniert das genauso: x⁴ · x³ = x⁷ und y⁹ : y⁵ = y⁴.

Potenzen mit gleichem Exponenten

Haben zwei Potenzen denselben Exponenten, multiplizierst oder dividierst du die Basen und behältst den Exponenten.

  • 3² · 5² = (3 · 5)² = 15² = 225
  • 12³ : 4³ = (12 : 4)³ = 3³ = 27

Dieses Gesetz ist praktisch, um geschickt zu rechnen. 4³ · 25³ wäre einzeln mühsam, aber 4 · 25 = 100, also ergibt sich 100³ = 1 000 000. Du kannst das Gesetz auch rückwärts lesen und eine Klammer auflösen: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.

Potenzen potenzieren

Potenzierst du eine Potenz, multiplizierst du die Exponenten. Ausgeschrieben siehst du den Grund: (2³)² = 2³ · 2³ = 2⁶ = 64.

Achte auf die Klammern. Steht 3² selbst als Exponent über der 2, rechnest du zuerst 3² = 9 und dann 2⁹ = 512. Das ist etwas völlig anderes als (2³)² = 64.

Negative Potenzen, Exponent 0 und Wurzeln

Minus im Exponenten heißt Kehrwert, nicht negativ!

Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, wobei a ≠ 0 ist. Beispiele: 3⁻² = 1/3² = 1/9 und 10⁻³ = 1/1000 = 0,001.

Für den Exponenten 0 gilt: a⁰ = 1 für jede Basis a ≠ 0. Der Ausdruck 0⁰ ist nicht definiert.

Diese Festlegungen sind kein Zufall. Sie sorgen dafür, dass die Potenzgesetze weiter gelten:

  • 5³ : 5³ = 1, nach dem Gesetz aber auch 5³⁻³ = 5⁰. Also muss 5⁰ = 1 sein.
  • 5² : 5⁵ = 1/5³, nach dem Gesetz aber auch 5²⁻⁵ = 5⁻³. Also ist 5⁻³ = 1/5³ = 1/125.

Mit Zehnerpotenzen schreibst du sehr große und sehr kleine Zahlen kurz, etwa 3 000 000 = 3 · 10⁶ oder 0,002 = 2 · 10⁻³.

Auch Brüche können im Exponenten stehen. Dann steht die Potenz für eine Wurzel: a hoch 1/2 ist √a, a hoch 1/3 ist die dritte Wurzel aus a (für a ≥ 0). So ist 9 hoch 1/2 = √9 = 3. Die Potenzgesetze gelten auch hier.

Gibt es ein Potenzgesetz für die Addition?

Nein. Für Summen und Differenzen wie aⁿ + bⁿ oder aᵐ + aⁿ gibt es kein Potenzgesetz. Du rechnest jede Potenz einzeln aus: 2² + 2³ = 4 + 8 = 12 und nicht 2⁵ = 32.

Auch eine Klammer mit Plus darfst du nicht einfach aufteilen: (3 + 4)² = 7² = 49, aber 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Bei gleichen Potenzen kannst du die Zahlen davor addieren: 3x² + 5x² = 8x². Das ist Ausklammern, kein Potenzgesetz.

Summen von Quadraten begegnen dir zum Beispiel beim Satz des Pythagoras, Quadratische Gleichungen in der Form x² + px + q = 0 löst du mit der pq-Formel.

Beispiele zu den Potenzgesetzen Schritt für Schritt

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren

Vereinfache 3⁴ · 3⁵ · 3.

Die 3 allein ist 3¹. Also addierst du alle Exponenten: 3⁴⁺⁵⁺¹ = 3¹⁰.

Multiplizieren und Dividieren mit Variablen

Vereinfache x⁷ · x² : x⁵ (x ≠ 0).

Zuerst multiplizieren: x⁷ · x² = x⁹. Dann dividieren: x⁹ : x⁵ = x⁴.

Gleicher Exponent: geschickt rechnen

Berechne ohne Taschenrechner 2⁵ · 5⁵.

Beide Potenzen haben den Exponenten 5. Du multiplizierst die Basen: (2 · 5)⁵ = 10⁵ = 100 000.

Negative Exponenten auflösen

Schreibe ohne negativen Exponenten: 4⁻² und a³ · a⁻⁵ (a ≠ 0).

4⁻² = 1/4² = 1/16. Bei a³ · a⁻⁵ addierst du die Exponenten: 3 + (−5) = −2, also a⁻² = 1/a².

Typische Fehler bei der Potenzrechnung

  • 2³ wird als 2 · 3 = 6 gerechnet.

    Ein positiver ganzzahliger Exponent gibt an, wie oft die Basis als Faktor vorkommt: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.

  • −3² wird als 9 berechnet.

    Ohne Klammer gehört der Exponent nur zur 3: −3² = −(3 · 3) = −9. Nur (−3)² = (−3) · (−3) = 9.

  • 3⁻² wird als −9 berechnet.

    Der negative Exponent macht das Ergebnis nicht negativ, sondern bildet den Kehrwert: 3⁻² = 1/3² = 1/9.

  • Bei 2³ · 2² werden auch die Basen malgenommen: 4⁵.

    Bei gleicher Basis bleibt die Basis stehen, nur die Exponenten werden addiert: 2³ · 2² = 2⁵.

  • (2x)³ wird zu 2x³ vereinfacht.

    Der Exponent gilt für alles in der Klammer: (2x)³ = 2³ · x³ = 8x³.

Aufgaben zu den Potenzgesetzen mit Lösungen

Versuch es erst selbst, dann vergleiche mit der Lösung.

  1. Vereinfache a⁵ · a³.

    Lösung zeigen zu Aufgabe 1

    Gleiche Basis, also Exponenten addieren: a⁸.

  2. Berechne 7⁸ : 7⁶.

    Lösung zeigen zu Aufgabe 2

    Gleiche Basis, also Exponenten subtrahieren: 7² = 49.

  3. Vereinfache (x²)⁴.

    Lösung zeigen zu Aufgabe 3

    Beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du die Exponenten: x⁸.

  4. Berechne 0,5³ · 4³ ohne Taschenrechner.

    Lösung zeigen zu Aufgabe 4

    Gleicher Exponent, also Basen multiplizieren: 0,5 · 4 = 2, also 2³ = 8.

  5. Schreibe 2⁻³ als Bruch.

    Lösung zeigen zu Aufgabe 5

    2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

  6. Berechne 10⁴ · 10⁻⁶.

    Lösung zeigen zu Aufgabe 6

    Exponenten addieren: 4 + (−6) = −2. Also 10⁻² = 0,01.

  7. Kannst du 5² + 5³ mit einem Potenzgesetz zusammenfassen?

    Lösung zeigen zu Aufgabe 7

    Nein. Für die Addition gibt es kein Potenzgesetz. Du rechnest einzeln: 25 + 125 = 150.

Verwandte Themen

  1. Mathepq-FormelKlasse 9
  2. MatheSatz des PythagorasKlasse 9–10

Quellen

  1. LehrplanPLUS Bayern, Serviceinformation: Potenzgesetze und Zehnerpotenzen in Jahrgangsstufe 7, ISB Bayern, abgerufen am 19.10.2026
  2. LehrplanPLUS Bayern, Serviceinformation: Potenzen mit ganzzahligen Exponenten, ISB Bayern, abgerufen am 19.10.2026
  3. LehrplanPLUS Gymnasium, Mathematik 9: Potenzen mit rationalen Exponenten, ISB Bayern, abgerufen am 19.10.2026
  4. Mathematik 9. Klasse: Potenzen mit ganzzahligen Exponenten (Leseprobe), Duden, abgerufen am 19.10.2026

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