Primzahlen

Was sind Primzahlen? Definition und Eigenschaften

Primzahlen sind natürliche Zahlen mit genau zwei positiven Teilern: der 1 und der Zahl selbst. Die 7 zum Beispiel kannst du nur durch 1 und durch 7 ohne Rest teilen. Sie ist also eine Primzahl.

Was ist eine Primzahl im Gegensatz zu anderen Zahlen? Hat eine Zahl mehr als zwei Teiler, heißt sie zusammengesetzte Zahl. Die 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Du kannst sie als 2 · 3 schreiben, also aus kleineren Zahlen „zusammensetzen“. Eine Primzahl lässt sich so nicht zerlegen.

Primzahlen sind die Bausteine aller natürlichen Zahlen größer als 1: Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben, etwa 12 = 2 · 2 · 3. Wie das genau geht, lernst du bei der Primfaktorzerlegung.

Alle Primzahlen bis 100 im Überblick

Bis 100 gibt es genau 25 Primzahlen. Die Tabelle zeigt sie, geordnet nach Zehnerbereichen:

Daraus kannst du auch die Primzahlen bis 20 ablesen: Es sind 8 Stück. Bei den Primzahlen bis 50 kommst du auf 15. Fällt dir etwas auf? Außer der 2 und der 5 endet jede Primzahl auf 1, 3, 7 oder 9. Umgekehrt ist aber nicht jede Zahl mit dieser Endziffer eine Primzahl, zum Beispiel 21, 27, 49 oder 91.

Ist 1 eine Primzahl? Sonderfälle 0, 1 und 2

Nein, die 1 ist keine Primzahl. Sie hat nur einen einzigen Teiler, nämlich sich selbst. Für eine Primzahl braucht es aber genau zwei verschiedene Teiler. Merke dir: Bei der 1 sind „1“ und „die Zahl selbst“ dieselbe Zahl, also zählt der Teiler nur einmal.

Auch die 0 ist keine Primzahl. Sie lässt sich durch jede andere Zahl ohne Rest teilen, denn 0 : 5 = 0 und 0 : 17 = 0. Die 0 hat also unendlich viele Teiler statt genau zwei.

Die 2: die einzige gerade Primzahl

Die 2 ist die kleinste Primzahl und die einzige gerade Primzahl. Ihre Teiler sind 1 und 2, mehr nicht. Jede gerade Zahl größer als 2 hat mindestens drei verschiedene Teiler: 1, 2 und sich selbst. Darum sind 4, 6, 8, 10 und alle weiteren geraden Zahlen keine Primzahlen.

Wie erkennt man eine Primzahl?

Nur bis zur Wurzel testen!

Für eine natürliche Zahl größer als 1 prüfst du, ob sie sich durch eine kleinere Primzahl ohne Rest teilen lässt. Findest du einen solchen Teiler, ist sie keine Primzahl. Findest du keinen, ist sie eine. So gehst du vor:

1. Durch 2? Ist die Zahl gerade und größer als 2, ist sie keine Primzahl.
2. Durch 3? Ist die Quersumme durch 3 teilbar, ist es auch die Zahl.
3. Durch 5? Endet die Zahl auf 0 oder 5, ist sie durch 5 teilbar.
4. Durch 7, 11, 13 …? Teile weiter durch die nächsten Primzahlen.

Du musst nicht bis zur Zahl selbst testen. Es reicht, bis zur Wurzel der Zahl zu gehen. Die Wurzel ist die nicht negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Ausgangszahl ergibt, zum Beispiel 7 bei 49. Der Grund: Wenn eine Zahl in zwei Faktoren zerfällt, ist immer einer davon höchstens so groß wie die Wurzel. Bei 97 bist du deshalb schon fertig, wenn du 2, 3, 5 und 7 getestet hast, denn 10 · 10 = 100 ist größer als 97.

Willst du alle Primzahlen in einem Zahlenbereich auf einmal finden, hilft das Sieb des Eratosthenes. Es ist nach dem griechischen Gelehrten Eratosthenes von Kyrene benannt. Die Regeln, mit denen du Teilbarkeit schnell erkennst, heißen Teilbarkeitsregeln.

Wie viele Primzahlen gibt es insgesamt?

Es gibt unendlich viele Primzahlen. Das hat bereits der griechische Mathematiker Euklid bewiesen.

Die Idee seines Beweises kannst du gut nachvollziehen. Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen. Dann multiplizierst du alle miteinander und addierst 1. Die neue Zahl lässt bei der Division durch jede dieser Primzahlen den Rest 1. Also muss sie entweder selbst eine Primzahl sein oder einen Primteiler haben, der in der Liste fehlt. In beiden Fällen war die Liste unvollständig. Es kann also keine letzte Primzahl geben.

Weil Primzahlen nie aufhören, suchen Menschen bis heute nach immer größeren. Die größte bekannte Primzahl hat die Form 2 hoch 136.279.841 minus 1 und ist mehr als 41 Millionen Stellen lang. Wie man mit so großen Potenzen umgeht, erfährst du bei den Potenzgesetzen.