Dreisatz
Mit dem Dreisatz berechnest du aus drei bekannten Werten einen vierten. Du brauchst ihn immer, wenn zwei Größen in einem festen Verhältnis stehen, etwa Menge und Preis.
Beim Dreisatz rechnest du in drei Schritten: Aussage aufschreiben, auf 1 herunterrechnen, auf die gesuchte Menge hochrechnen.
Dreisatz einfach erklärt: die drei Schritte
Der Name sagt es schon: Du rechnest in drei Sätzen. Nimm die Aufgabe „3 Hefte kosten 4,50 €, was kosten 5 Hefte?“:
- Aussage aufschreiben: 3 Hefte kosten 4,50 €.
- Auf 1 herunterrechnen: Ein Heft kostet ein Drittel davon, also teilst du durch 3.
- Auf die gesuchte Menge hochrechnen: 5 Hefte kosten fünfmal so viel, also nimmst du mal 5.
Schreib die Mengen immer links und die Werte rechts. Dann siehst du sofort, was du teilst und was du malnimmst. Den vollständigen Rechenweg findest du unten im Beispiel.
Die Dreisatz-Formel
Die drei Schritte lassen sich in eine Formel zusammenfassen. Zur Menge a gehört der Wert b, gesucht ist der Wert x für die Menge c:
- proportional: x = b : a · c
- antiproportional: x = b · a : c
Die Formel spart Schreibarbeit. Mit den drei Schritten siehst du aber besser, was du rechnest, und machst weniger Fehler.
Proportional oder antiproportional?
Erst überlegen: mehr oder weniger?
Bevor du rechnest, überlegst du, wie die beiden Größen zusammenhängen.
Bei einer proportionalen Zuordnung gilt „je mehr, desto mehr“: Doppelt so viele Hefte kosten doppelt so viel. Beim Schritt auf 1 teilst du, danach nimmst du mal.
Bei einer antiproportionalen Zuordnung gilt „je mehr, desto weniger“: Doppelt so viele Maler brauchen nur halb so lange. Hier rechnest du genau andersherum. Beim Schritt auf 1 nimmst du mal, danach teilst du: Ein Maler allein bräuchte viermal so lange wie vier Maler.
Woran du erkennst, ob der Dreisatz passt
Verdopple im Kopf die erste Größe. Verdoppelt sich die zweite auch, ist die Zuordnung proportional. Halbiert sie sich, ist sie antiproportional. Passiert etwas anderes, darfst du den Dreisatz nicht verwenden. Das ist zum Beispiel bei Preisen mit Grundgebühr so oder bei Alter und Körpergröße.
Dreisatz und Prozentrechnung
Auch Prozentaufgaben lassen sich mit dem Dreisatz lösen. Der Grundwert entspricht 100 %. Du rechnest auf 1 % herunter und dann auf den gesuchten Prozentsatz hoch. Mehr dazu findest du bei der Prozentrechnung.
Dreisatz beim Maßstab
Karte und Wirklichkeit sind ebenfalls proportional: Eine doppelt so lange Strecke auf der Karte ist auch in Wirklichkeit doppelt so lang. Darum kannst du Maßstabsaufgaben mit dem Dreisatz lösen. Schneller geht es mit dem Maßstabsrechner, der dir auch die Umrechnung in Meter und Kilometer zeigt.
Dreisatz-Beispiele mit Rechenweg
Proportionaler Dreisatz
3 Hefte kosten 4,50 €. Wie viel kosten 5 Hefte?
- 3 Hefte → 4,50 €
- 1 → 4,5 : 3 = 1,50 €
- 5 Hefte → 1,5 · 5 = 7,50 €
Ergebnis: Für 5 Hefte sind es 7,50 €.
Antiproportionaler Dreisatz
4 Maler brauchen für ein Haus 6 Tage. Wie lange brauchen 3 Maler?
- 4 Maler → 6 Tage
- 1 → 6 · 4 = 24 Tage
- 3 Maler → 24 : 3 = 8 Tage
Ergebnis: Für 3 Maler sind es 8 Tage.
Dreisatz-Rechner
Drei Werte eingeben, der vierte wird berechnet.
x = b : a · c
Beispiel · Ergebnis
Für 5 Hefte sind es 7,50 €.
- 3 Hefte → 4,50 €
- 1 → 4,5 : 3 = 1,50 €
- 5 Hefte → 1,5 · 5 = 7,50 €
Häufige Fehler beim Dreisatz
Eine antiproportionale Aufgabe wird wie eine proportionale gerechnet.
Prüf das Ergebnis mit dem gesunden Menschenverstand: Mehr Maler brauchen weniger Tage, nicht mehr.
Die Mengen haben verschiedene Einheiten, zum Beispiel 500 g und 2 kg.
Erst in dieselbe Einheit umrechnen, dann den Dreisatz rechnen.
Der Wert für 1 wird stark gerundet, danach stimmt das Ergebnis nicht.
Rechne mit dem ungerundeten Wert oder mit dem Bruch weiter. Runde erst am Ende.
Der Dreisatz wird bei jeder Zuordnung benutzt.
Er passt nur, wenn die Zuordnung proportional oder antiproportional ist. Gibt es zum Beispiel eine feste Grundgebühr, klappt er nicht.
Dreisatz-Aufgaben mit Lösungen
Versuch es erst selbst, dann vergleiche mit der Lösung.
2 kg Äpfel kosten 5,80 €. Wie viel kosten 5 kg?
Lösung zeigen zu Aufgabe 1
- 2 kg → 5,80 €
- 1 → 5,8 : 2 = 2,90 €
- 5 kg → 2,9 · 5 = 14,50 €
Ergebnis: Für 5 kg sind es 14,50 €.
Ein Bus fährt mit 60 km/h und braucht 2 Stunden. Wie lange braucht er mit 80 km/h?
Lösung zeigen zu Aufgabe 2
- 60 km/h → 2 h
- 1 → 2 · 60 = 120 h
- 80 km/h → 120 : 80 = 1,5 h
Ergebnis: Für 80 km/h sind es 1,5 h.
Je schneller der Bus fährt, desto weniger Zeit braucht er: Die Zuordnung ist antiproportional.
6 Kinder teilen sich eine Tüte Bonbons, jedes bekommt 8. Wie viele bekommt jedes, wenn nur 4 Kinder teilen?
Lösung zeigen zu Aufgabe 3
- 6 Kinder → 8 Bonbons
- 1 → 8 · 6 = 48 Bonbons
- 4 Kinder → 48 : 4 = 12 Bonbons
Ergebnis: Für 4 Kinder sind es 12 Bonbons.
Ein Taxi kostet 4 € Grundgebühr und 2 € pro Kilometer. Kannst du den Preis für 10 km mit dem Dreisatz aus dem Preis für 5 km berechnen?
Lösung zeigen zu Aufgabe 4
Nein. Die doppelte Strecke kostet nicht das Doppelte, weil die Grundgebühr nur einmal anfällt. Die Zuordnung ist nicht proportional.
Verwandte Themen
- MatheProzentrechnungKlasse 6–7
Quellen
- Dreisatz (Bedeutung), Duden online
- LehrplanPLUS Gymnasium, Mathematik 5, Lernbereich 4: Größen und ihre Einheiten, ISB Bayern
- LehrplanPLUS Gymnasium, Mathematik 6, Lernbereich 3 (Schlussrechnung), ISB Bayern
- LehrplanPLUS Gymnasium, Mathematik 8: direkt und indirekt proportionale Größen, ISB Bayern
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